Una pieza puede cumplir la tolerancia durante una inspección y, aun así, provenir de un proceso con demasiada variación o con la media peligrosamente cerca de uno de los límites. En manufactura, los índices Cp, Cpk y los índices unilaterales permiten convertir esa situación en medidas comparables para distinguir dos problemas diferentes: dispersión excesiva y falta de centrado.
Esta guía desarrolla las fórmulas de Cp, Cpk, Cpi, Cps y del factor de centrado k con cálculos aplicados a un proceso de mecanizado. El enfoque parte del supuesto clásico de una característica aproximadamente normal y de un proceso estable. El NIST e-Handbook of Statistical Methods sobre capacidad de procesos utiliza precisamente la comparación entre los límites de especificación y la variación natural del proceso como base de estos índices.
Antes de calcular capacidad
Un estudio de capacidad no debería comenzar introduciendo datos directamente en una fórmula. Primero debe comprobarse que las observaciones representan el proceso que se desea evaluar y que no existen cambios importantes producidos por causas especiales, ajustes, lotes diferentes, desgaste de herramienta u otras fuentes de inestabilidad. El NIST advierte que analizar un proceso inestable puede producir resultados con poca credibilidad; la estabilidad debe revisarse antes de interpretar la capacidad.
Para esta guía se utilizará LSE como límite superior de especificación y LIE como límite inferior. En documentación técnica en inglés aparecen normalmente como USL y LSL. También utilizaremos Cpi para el índice unilateral inferior y Cps para el superior. El NIST y Minitab los identifican habitualmente como Cpl y Cpu, respectivamente; las fórmulas empleadas son equivalentes.
| Índice | ¿Qué evalúa? | ¿Qué permite detectar? |
|---|---|---|
| Cp | Tolerancia disponible frente a la dispersión del proceso. | Capacidad potencial si el proceso estuviera centrado. |
| Cpi / Cpl | Distancia desde la media hasta el límite inferior. | Riesgo por el lado inferior. |
| Cps / Cpu | Distancia desde la media hasta el límite superior. | Riesgo por el lado superior. |
| Cpk | Variación y posición de la media. | El lado más restrictivo del proceso. |
| k | Desplazamiento de la media respecto al centro de especificación. | Magnitud del descentrado. |
Cómo calcular Cp
Cp compara el ancho de la especificación con seis desviaciones estándar del proceso. Su principal limitación es que no utiliza la posición de la media. Por ello puede mostrar una buena capacidad potencial aunque la distribución esté desplazada hacia un límite.
Cpi, Cps y Cpk
Los índices unilaterales responden una pregunta que Cp no puede contestar: ¿qué tan lejos está la media del límite inferior y del límite superior? Para datos muestrales, la media se representa mediante x̄.
Cpk toma el menor de ambos resultados. Esta elección tiene sentido operacional: la capacidad queda condicionada por el límite de especificación que se encuentra más cerca de la media.
Si Cpi y Cps son aproximadamente iguales, la media se encuentra cerca del centro de las especificaciones. Cuando uno resulta claramente menor, ese lado identifica hacia qué límite está desplazado el proceso. La documentación técnica de Minitab sobre Cp, CPL, CPU y Cpk utiliza esta misma relación para el análisis normal de capacidad.
El factor de centrado k
El factor k expresa el desplazamiento de la media como proporción de la mitad del intervalo de especificación. Primero se determina el punto medio m.
Cuando la media coincide con el centro, k = 0. Un k creciente indica mayor desplazamiento respecto al centro. Para el caso habitual en el que la media permanece dentro de las especificaciones, el NIST muestra además una relación especialmente útil para comprobar los cálculos:
Ejercicio: eje mecanizado
Consideremos un caso práctico representativo de manufactura. El diámetro especificado para un eje mecanizado se encuentra entre 19,90 mm y 20,10 mm. Después de verificar que el proceso se encuentra estable, una muestra proporciona una media de 20,03 mm y una desviación estándar estimada de 0,025 mm. Estos valores son datos del ejercicio y no corresponden a una empresa específica.
Paso 1. Capacidad potencial Cp
La dispersión ocupa una fracción menor que el ancho total de especificación. Sin embargo, todavía no sabemos si la distribución está centrada; Cp por sí solo no responde esa pregunta.
Paso 2. Capacidad hacia el límite inferior
Paso 3. Capacidad hacia el límite superior
El lado superior es claramente más restrictivo. Por definición, Cpk toma el menor valor:
El diagnóstico es más útil que observar Cp de manera aislada. La variación proporciona un Cp de 1,3333, pero la media se ha desplazado hacia el límite superior y reduce la capacidad efectiva de ese lado.
Comprobación mediante k
El centro de las especificaciones del eje es 20,00 mm. La media se encuentra 0,03 mm por encima de ese punto.
Un k de 0,30 significa que el desplazamiento de la media equivale al 30 % de la mitad del intervalo de especificación. Al aplicar la relación entre Cp, k y Cpk:
El resultado coincide con el obtenido mediante el mínimo entre Cpi y Cps. Esta doble comprobación es útil para detectar errores de sustitución o interpretación durante un cálculo manual.
Ejercicio: recentrar el proceso
Supongamos ahora que, después de investigar la causa del desplazamiento y ajustar correctamente el punto de operación, la media queda en 20,00 mm mientras la desviación estándar permanece en 0,025 mm. Este supuesto permite aislar matemáticamente el efecto del centrado; en planta sería necesario volver a muestrear y comprobar que la variación realmente se mantiene.
Cp permanece en 1,3333 porque la variación no cambió. Cpk, en cambio, aumenta de aproximadamente 0,9333 a 1,3333 únicamente porque la media fue recentrada. El ejercicio muestra por qué una decisión de mejora depende del diagnóstico: si Cp es insuficiente, debe investigarse la variabilidad; si existe una brecha importante entre Cp y Cpk, el centrado merece atención.
Errores al interpretar capacidad
Los índices condensan mucha información en un número, pero ese número depende de cómo se obtuvieron los datos y de los supuestos estadísticos utilizados. La norma ISO 22514-4:2016 sobre estimaciones de capacidad y medidas de desempeño continúa vigente según el registro de ISO y constituye un marco técnico para estas medidas.
Cuando los datos son claramente no normales, aplicar automáticamente las ecuaciones normales puede distorsionar la conclusión. El NIST describe la revisión de normalidad y estabilidad, mientras que una investigación publicada por la Universidad Nacional de Ingeniería analizó alternativas basadas en transformaciones y percentiles para procesos con datos no normales. La elección depende de la estructura de la distribución y no debería reducirse a aplicar una transformación de forma automática.
Conclusión
El análisis de capacidad resulta más útil cuando Cp, Cpi, Cps, Cpk y k se interpretan como un conjunto. Cp muestra cuánto espacio consume la variación; Cpi y Cps revelan cuál especificación está más próxima; Cpk incorpora el lado crítico; y k permite cuantificar cuánto contribuye el descentrado. Esa lectura conjunta ayuda a decidir si el siguiente trabajo de ingeniería debe enfocarse en reducir variación, corregir el centrado o revisar primero la estabilidad y el modelo estadístico utilizado.
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Fuentes consultadas
National Institute of Standards and Technology (NIST). What is Process Capability? NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods.
National Institute of Standards and Technology (NIST). Checking Assumptions: normality and process stability.
International Organization for Standardization. ISO 22514-4:2016 — Statistical methods in process management — Capability and performance — Part 4. 2016.
Minitab, LLC. Methods and formulas for potential capability measures in Normal Capability Analysis.
Chacón Montalván, E.; Romero Romero, V.; Quispe Ortiz, L.; Camero Jiménez, J. Metodología para la estimación de índices de capacidad en procesos para datos no normales. Revista TECNIA, Universidad Nacional de Ingeniería, 2014.
